Y'+y=x

Чтобы решить дифференциальное уравнение \( y' + y = x \), мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте разберем его шаг за шагом.

1. Определение интегрирующего множителя. Уравнение имеет стандартный вид: \[ y' + P(x)y = Q(x) \] Здесь \( P(x) = 1 \) и \( Q(x) = x \). Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) вычисляется по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^x \]

2. Умножение на интегрирующий множитель. Умножим всё уравнение на \( e^x \): \[ e^x y' + e^x y = e^x x \]

3. Запись в форме производной. Левую часть уравнения можно переписать как производную: \[ \frac{d}{dx}(e^x y) = e^x x \]

4. Интегрируем обе стороны. Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{d}{dx}(e^x y) \, dx = \int e^x x \, dx \] Используем интеграцию по частям для правой части. Пусть \( u = x \) и \( dv = e^x dx \). Таким образом, \( du = dx \), а \( v = e^x \). Применяя формулу интегрирования по частям \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), получаем: \[ \int e^x x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C \] Здесь \( C \) — произвольная константа интегрирования.

5. Объединяем результаты. Теперь у нас есть: \[ e^x y = x e^x - e^x + C \]

6. Решаем для \( y \). Разделим обе стороны на \( e^x \): \[ y = x - 1 + Ce^{-x} \]

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения выглядит так: \[ y = x - 1 + Ce^{-x} \] где \( C \) — произвольная константа. Вы можете подставить \( C \) в зависимости от начальных условий, если они известны.