y=x*(5-x²)
Чтобы исследовать функцию \( y = x(5 - x^2) \), сначала давайте упростим её и поймём, какие свойства она имеет.
Раскроем скобки: \[ y = 5x - x^3 \]
Определим область определения: Эта функция определена для всех действительных значений \( x \), так как это многочлен.
Найдём критические точки: Для этого найдем производную и приравняем её к нулю. \[ \frac{dy}{dx} = 5 - 3x^2 \] Приравниваем к нулю: \[ 5 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 5 \implies x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29 \]
Определим промежутки возрастания и убывания:
- Для \( x < -\sqrt{\frac{5}{3}} \): производная положительна, \( y \) возрастает.
- Для \( -\sqrt{\frac{5}{3}} < x < \sqrt{\frac{5}{3}} \): производная отрицательна, \( y \) убывает.
- Для \( x > \sqrt{\frac{5}{3}} \): производная снова положительна, \( y \) возрастает.
Найдём значения на критических точках:
- \( y\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \) и \( y\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \) дают максимумы, а \( y(0) = 0 \) - минимум.
Найдём значения \( y \) на критических точках: \[ y\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) = \sqrt{\frac{5}{3}}(5 - \left(\frac{5}{3}\right)) = \sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \frac{10}{3} \approx 1.29 \cdot 3.33 \approx 4.3 \] Это значение соответствует локальному максимуму.
Таким образом, функция \( y = x(5 - x^2) \) имеет один локальный максимум в точках \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \). График функции будет иметь характерную форму, подобную кубической функции. Надеюсь, это поможет вам лучше понять структуру данной функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
