Интеграл L dS/x-y; y=1/2x-2; A(0;-2), B(4,0)
Чтобы вычислить интеграл вдоль заданной кривой, нужно сначала определить параметры интегрирования и саму кривую.
Шаг 1: Определение кривой
Данная параметризация прямой:
\[ y = \frac{1}{2}x - 2. \]
Координаты точек A(0, -2) и B(4, 0) можно проверить:
Для точки A: подставим \( x = 0 \): \[ y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2 \]
Для точки B: подставим \( x = 4 \): \[ y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0 \]
Таким образом, прямая, заданная уравнением, соединяет точки A и B.
Шаг 2: Параметризация
Мы можем параметризовать прямую от A до B следующим образом:
\[ \begin{cases} x = t \\ y = \frac{1}{2}t - 2 \end{cases} \] где \( t \) изменяется от 0 до 4.
Шаг 3: Находим ds
Для наработки элемента длины кривой \( dS \):
\[ dS = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \]
Сначала найдем производные:
\[ dx = dt, \] \[ dy = \frac{1}{2} dt. \]
Теперь подставим в формулу для \( dS \):
\[ dS = \sqrt{(dt)^2 + \left(\frac{1}{2} dt\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dt = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \, dt = \sqrt{\frac{5}{4}} \, dt = \frac{\sqrt{5}}{2} \, dt. \]
Шаг 4: Выражение L
Теперь выразим функцию \( L \):
\[ L = \frac{dS}{x - y} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} \, dt}{t - \left(\frac{1}{2}t - 2\right)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} \, dt}{t - \frac{1}{2}t + 2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} \, dt}{\frac{1}{2}t + 2} = \frac{\sqrt{5}}{2(\frac{1}{2}t + 2)} \, dt = \frac{\sqrt{5}}{t + 4} \, dt. \]
Шаг 5: Интегрирование
Теперь нам необходимо вычислить интеграл:
\[ \int_A^B L \, dS = \int_0^4 \frac{\sqrt{5}}{t + 4} \, dt. \]
Шаг 6: Решение интеграла
Интеграл от функции \( \frac{1}{t + 4} \):
\[ \int \frac{1}{t + 4} \, dt = \ln |t + 4| + C. \]
Теперь подставляем пределы:
\[ \int_0^4 \frac{\sqrt{5}}{t + 4} \, dt = \sqrt{5} \left[ \ln |t + 4| \right]_0^4 = \sqrt{5} \left[ \ln(4 + 4) - \ln(0 + 4) \right]. \]
Это равно:
\[ \sqrt{5} \left[ \ln(8) - \ln(4) \right] = \sqrt{5} \ln\left(\frac{8}{4}\right) = \sqrt{5} \ln(2). \]
Ответ
Итак, окончательный ответ:
\[ \int_A^B L \, dS = \sqrt{5} \ln(2). \]
