Постройте график функции у=|х-3|+|х+3|

Чтобы построить график функции \( y = |x - 3| + |x + 3| \), давайте сначала разберем, как выглядит каждое из абсолютных значений, и найдем ключевые точки.

1. Определение точек разрыва: Поскольку мы имеем дело с абсолютными значениями, необходимо найти точки, в которых внутренние выражения равны нулю.
   • \( x - 3 = 0 \) ⇒ \( x = 3 \)
   • \( x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -3 \)

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty, -3) \)
• \( [-3, 3] \)
• \( (3, +\infty) \)

2. Определение функции на каждом интервале:

   • На интервале \( (-\infty, -3) \): Здесь \( x < -3 \), поэтому: \[ y = -(x - 3) - (x + 3) = -x + 3 - x - 3 = -2x \]

   • На интервале \( [-3, 3] \): Здесь \( -3 \leq x \leq 3 \), поэтому: \[ y = -(x - 3) + (x + 3) = -x + 3 + x + 3 = 6 \]

   • На интервале \( (3, +\infty) \): Здесь \( x > 3 \), поэтому: \[ y = (x - 3) + (x + 3) = x - 3 + x + 3 = 2x \]

3. Построение графика:

   • Для \( x < -3 \): прямая \( y = -2x \)
   • Для \( -3 \leq x \leq 3 \): горизонтальная линия \( y = 6 \)
   • Для \( x > 3 \): прямая \( y = 2x \)

4. Ключевые точки:

   • В точке \( x = -3 \), \( y = 6 \): (−3, 6)
   • В точке \( x = 3 \), \( y = 6 \): (3, 6)

Теперь, когда мы знаем, как распределяется функция на разных интервалах, можно построить график. На графике вы увидите:

• Отрезок, начинающийся от \( (−\infty, +\infty) \) с наклоном -2, доходящий до точки \( (-3, 6) \),
• Затем горизонтальный отрезок от \( (-3, 6) \) до \( (3, 6) \),
• И наконец, отрезок, начинающийся с \( (3, 6) \) и идущий к \( (+\infty, +\infty) \) с наклоном 2.

Таким образом, получаем график функции \( y = |x - 3| + |x + 3| \).