Дан треугольник ABC. В нём угол B равен 60°, сторона AC равна 15√6, а угол С равен 45°. Найдите сторону AB.

Для решения задачи будем использовать закон синусов. У нас есть треугольник ABC с углом \( B = 60^\circ \), углом \( C = 45^\circ \), и стороной \( AC = 15\sqrt{6} \).

Сначала найдем угол \( A \):

\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь применим закон синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a = BC \)
• \( b = AC = 15\sqrt{6} \)
• \( c = AB \)

Тогда можно записать:

\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{c}{\sin 45^\circ} = \frac{15\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} \]

Значения синусов равны:

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{15\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим правую часть уравнения:

\[ \frac{15\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 15\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 30\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 30 \sqrt{2} \]

Теперь имеем уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 30\sqrt{2} \]

Умножим обе части уравнения на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ c = 30\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30 \cdot \frac{2}{2} = 30 \]

Таким образом, сторона \( AB \) равна:

\[ AB = c = 30 \]

Ответ: \( AB = 30 \).