Комплексная контрольная работа по «Математике: алгебра, геометрия, вероятность и статистика». 9 класс 1 четверть 1 вариант Алгебра 3/5 - 2/7 Представьте выражение виде дроби со…

Конечно! Давайте разберём все задачи по порядку.

Алгебра

1. Выражение \( \frac{3}{5} - \frac{2}{7} \) нужно представить со знаменателем 70. Для этого найдем дроби со знаменателем 70:

\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 14}{5 \times 14} = \frac{42}{70} \] \[ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 10}{7 \times 10} = \frac{20}{70} \]

Теперь вычтем:

\[ \frac{42}{70} - \frac{20}{70} = \frac{42 - 20}{70} = \frac{22}{70} \]

Таким образом, числитель полученной дроби равен 22.

2. Рассмотрим числа на прямой. Обозначим их: 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0. Из вариантов выберем:

• 5/9 ≈ 0.555...
• 11/9 ≈ 1.222...
• 13/9 ≈ 1.444...
• 14/9 ≈ 1.555...

Таким образом, только число 0.5 попадает на прямую и является одним из обозначенных чисел.

3. Решим уравнение \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \]

Меньший корень — это 0.5.

4. Решим два уравнения:

a) \( \frac{3}{x-19} = \frac{19}{x-3} \).

Перемножим и приравняем:

\[ 3(x-3) = 19(x-19) \] \[ 3x - 9 = 19x - 361 \] \[ 361 - 9 = 19x - 3x \] \[ 352 = 16x \implies x = \frac{352}{16} = 22 \]

b) \( \frac{x}{12} + \frac{x}{8} + x = -\frac{29}{6} \).

Найдём общий знаменатель:

12 и 8 — общий знаменатель 24:

\[ \frac{2x}{24} + \frac{3x}{24} + \frac{24x}{24} = -\frac{29}{6} \]

Объединим:

\[ \frac{29x}{24} = -\frac{29}{6} \]

Перекрестное перемножение:

\[ 29x \cdot 6 = -29 \cdot 24 \] \[ 174x = -696 \implies x = -\frac{696}{174} = -4 \]

x = -4

Решим \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \):

Пусть \( y = x^2 \), тогда получаем \( y^2 - 5y + 4 = 0 \) с дискриминантом:

\[ D = 25 - 16 = 9 \]

Корни:

\[ y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Т.е. \( x^2 = 4 \) или \( x^2 = 1 \), откуда \( x = \pm 2 \) и \( x = \pm 1 \).

Геометрия

1. Используем теорему синусов или косинусов. Обозначим стороны: \( BC = a, AC = b, AB = c \). Здесь:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Longrightarrow \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \]

Решаем данное уравнение для \( AC \).

2. Для получения \( \cos \angle ABC \) используем формулу косинуса:

\[ \cos \angle ABC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Подставьте значения и решите уравнение.

3. Радиус описанной окружности \( R \) можно найти по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S}, \]

где \( S \) — площадь треугольника. Используйте формулу Герона.

Вероятность и статистика

1. Составить расписание из 6 предметов из 11 можно, используя комбинации:

\[ C(11, 6) = \frac{11!}{6!(11-6)!} \]

2. Один из трёхзначных чисел можно составить из 5 цифр:

• Первая цифра не может быть 0 (из 1, 3, 5, 7, 9)

Итак, найдите все варианты в зависимости от размещения.

3. Собрать дежурных из 30 человек можно следующими способами:

\[ C(30, 2) = \frac{30!}{2!(30-2)!} \]

4. Для выбора председателя, казначея и секретаря:

Первый выбор из 10, второй из 9 и третий из 8.

5. Для выбора авторучек и блокнотов воспользуйтесь комбинаторными формулами.

Если есть вопросы по решениям, уточняйте!