.

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

У нас есть матрица \( A \) и вектор \( \overrightarrow{b} \). Задача состоит в том, чтобы проверить, является ли вектор \( \overrightarrow{b} \) линейной комбинацией столбцов матрицы \( A \).

Шаги решения:

1. Запишем уравнение: Нам нужно решить систему уравнений вида \( A \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \), где \( \overrightarrow{x} \) — вектор неизвестных.

2. Запишем матрицы:

   • Матрица \( A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \)
   • Вектор \( \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

3. Решим систему уравнений: Запишем систему уравнений:

   • \( 4x_1 + 2x_2 = 2 \)
   • \( 3x_1 - x_2 = 1 \)

4. Метод подстановки или суммы:

   • Решим первое уравнение относительно \( x_1 \): \( x_1 = \frac{2 - 2x_2}{4} = \frac{1 - x_2}{2} \)

   • Подставим в \( 3x_1 - x_2 = 1 \): \( 3 \left(\frac{1 - x_2}{2}\right) - x_2 = 1 \) Преобразуем: \( \frac{3 - 3x_2}{2} - x_2 = 1 \)

   • Умножим всё на 2: \( 3 - 3x_2 - 2x_2 = 2 \) \( 3 - 5x_2 = 2 \)

   • \( -5x_2 = -1 \)

   • \( x_2 = \frac{1}{5} \)

   • Найдём \( x_1 \): \( x_1 = \frac{1 - \frac{1}{5}}{2} \) \( x_1 = \frac{4}{10} \) \( x_1 = \frac{2}{5} \)

5. Ответ: Вектор \( \overrightarrow{b} \) является линейной комбинацией столбцов матрицы \( A \). Вектор \( \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} \) является решением системы уравнений и коэффициентами линейной комбинации.

Если у тебя будут вопросы, не стесняйся спрашивать!