Композитный материал изготавливают, вырезая из алюминия (плотность ρ 1 = 2.7 г/см 3 ) строго периодическую вдоль двух взаимно перпендикулярных осей квадратную сетку с толщиной стенки d и длиной внутренней стороны ячейки 4d, фрагмент которой изображён на рисунке. Затем полости заполняют смолой, после затвердевания имеющей плотность ρ 2 =1.2 г/см 3 . Найдите среднюю плотность большого листа из такого материала.Ответ дайте в г/см^3с точностью не менее 0.01 г/см ^3
Для нахождения средней плотности композитного материала необходимо рассмотреть объемы алюминия и смолы, а затем вычислить общую массу и общий объем.
Определим объем алюминия и смолы.
Пусть одна ячейка сетки имеет длину внутренней стороны 4d. Таким образом:
- Длина стороны ячейки (внешняя) = 4d + d = 5d.
- Площадь сечения одной стороны ячейки (с учетом толщины стенки) = (5d)^2 - (4d)^2 = 25d^2 - 16d^2 = 9d^2.
Теперь находим, сколько таких ячеек в мелкой сетке (параллельно оси и вдоль):
Если сетка бесконечно длинна по обеим направлениям и периодична, количество ячеек в одном направлении можно считать бесконечным. Для расчета плотности возьмем одну ячейку.
Объем алюминия \( V_{Al} = \text{толщина} \times \text{площадь сечения} = d \times 9d^2 = 9d^3 \).
Объем смолы (заполняет полости) будет равен внутреннему объему ячейки (площадь внутренней ячейки \(\times d\)):
- Внутренний объем = \( 4d \times 4d \times d = 16d^3 \).
Общий объем ячейки = объём алюминия + объём смолы: \[ V_{total} = V_{Al} + V_{resin} = 9d^3 + 16d^3 = 25d^3. \]
Найдём массы алюминия и смолы.
Масса алюминия: \[ m_{Al} = V_{Al} \cdot \rho_1 = 9d^3 \cdot 2.7 \, \text{г/см}^3 = 24.3d^3. \]
Масса смолы: \[ m_{resin} = V_{resin} \cdot \rho_2 = 16d^3 \cdot 1.2 \, \text{г/см}^3 = 19.2d^3. \]
Общая масса: \[ m_{total} = m_{Al} + m_{resin} = 24.3d^3 + 19.2d^3 = 43.5d^3. \]
Средняя плотность: \[ \rho_{average} = \frac{m_{total}}{V_{total}} = \frac{43.5d^3}{25d^3} = \frac{43.5}{25} = 1.74 \, \text{г/см}^3. \]
Таким образом, средняя плотность композитного материала составляет 1.74 г/см³.
