Лим икс стремится к бесконечности ( 5х+2/5х-1)^4х

Чтобы найти предел функции \( \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right)^{4x} \) при \( x \) стремящемся к бесконечности, начнем с анализа дроби внутри скобок.

1. Разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\[ \frac{5x + 2}{5x - 1} = \frac{5 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x}}. \]

При \( x \to +\infty \), члены \( \frac{2}{x} \) и \( \frac{1}{x} \) стремятся к нулю. Таким образом получаем:

\[ \frac{5 + 0}{5 - 0} = 1. \]

2. Теперь подставим это в предел:

\[ \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right)^{4x} \to 1^{4x}. \]

3. Однако, эта форма неопределенная, поэтому нужно анализировать предел более внимательно. Для этого введем обозначение:

\[ y = \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right)^{4x}. \]

4. Сделаем логарифм:

\[ \ln y = 4x \cdot \ln \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right). \]

5. Теперь найдем предел \( \ln y \) при \( x \to +\infty \):

Рассмотрим логарифм:

\[ \ln \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right) = \ln (5x + 2) - \ln (5x - 1). \]

6. Еще раз делим на \( x \):

\[ \ln (5x + 2) \sim \ln (5x) = \ln 5 + \ln x, \] \[ \ln (5x - 1) \sim \ln (5x) = \ln 5 + \ln x. \]

Таким образом,

\[ \ln \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right) \to \ln 5 + \ln x - (\ln 5 + \ln x) = 0. \]

Более детальный анализ:

\[ \frac{5x + 2}{5x - 1} = 1 + \frac{3}{5x - 1}. \]

И тогда

\[ \ln \left( 1 + \frac{3}{5x - 1} \right) \approx \frac{3}{5x - 1} \quad (x \to \infty). \]

7. Подставим это в предел:

\[ \ln y = 4x \cdot \frac{3}{5x - 1}. \]

При \( x \to +\infty \),

\[ \ln y \approx 4 \cdot \frac{3x}{5x} = \frac{12}{5} \to \frac{12}{5} \quad (предел). \]

Следовательно, \( y \to e^{\frac{12}{5}} \).

Таким образом, мы получаем, что предел

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x + 2}{5x - 1} \right)^{4x} = e^{\frac{12}{5}}. \]