9х³-18х²-х+2=0
Чтобы решить уравнение \( 9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0 \), давайте начнем с поиска рациональных корней с помощью теоремы Больцано-Вирштрасса. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни уравнения могут быть представлены в виде дроби, где числитель — это делители свободного члена (в данном случае 2), а знаменатель — это делители ведущего коэффициента (в данном случае 9).
Делители свободного члена 2: ±1, ±2
Делители ведущего коэффициента 9: ±1, ±3, ±9
Таким образом, возможные рациональные корни: \[ x = \pm 1,\ \pm 2,\ \pm \frac{1}{3},\ \pm \frac{2}{3},\ \pm \frac{1}{9},\ \pm \frac{2}{9} \]
Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, какие из них являются корнями:
Проверка \(x = 1\): \[ 9(1)^3 - 18(1)^2 - 1 + 2 = 9 - 18 - 1 + 2 = -8 \quad (\text{не корень}) \]
Проверка \(x = -1\): \[ 9(-1)^3 - 18(-1)^2 - (-1) + 2 = -9 - 18 + 1 + 2 = -24 \quad (\text{не корень}) \]
Проверка \(x = 2\): \[ 9(2)^3 - 18(2)^2 - 2 + 2 = 72 - 72 - 2 + 2 = 0 \quad (\text{корень}) \]
Теперь, когда мы нашли корень \(x = 2\), можем разложить многочлен на множители, используя деление многочленов.
Делим \(9x^3 - 18x^2 - x + 2\) на \(x - 2\) с помощью синтетического деления.
После проведения синтетического деления мы получим:
\[ 9x^3 - 18x^2 - x + 2 = (x - 2)(9x^2 - 0x - 1) \]
Теперь у нас есть квадратный многочлен \(9x^2 - 1\). Разложим его:
\[ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \]
Таким образом, мы можем записать исходное уравнение в виде:
\[ (x - 2)(3x - 1)(3x + 1) = 0 \]
Теперь найдем остальные корни:
- \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)
- \(3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\)
Итак, все корни уравнения: \[ x = 2, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -\frac{1}{3} \]
Если у вас есть вопросы по другим темам или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!
