Железнодорожная цистерна с водой общей массой 60 тонн начинает движение из состояния покоя под действием горизонтальной силы тяги 4,8 кН. Если через отверстие в дне цистерны вода…
Железнодорожная цистерна с водой общей массой 60 тонн начинает движение из состояния покоя под действием горизонтальной силы тяги 4,8 кН. Если через отверстие в дне цистерны вода выливается с постоянной скоростью 100 кг/с, то через две минуты модуль скорости цистерны будет равен
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим основные моменты.
Данные задачи:
- Масса цистерны с водой \( m = 60 \) тонн = \( 60000 \) кг.
- Горизонтальная сила тяги \( F = 4.8 \) кН = \( 4800 \) Н.
- Скорость выливающейся воды \( \dot{m} = 100 \) кг/с.
- Время, в течение которого вода вытекает, \( t = 2 \) минуты = \( 120 \) секунд.
Находим массу воды, которая выливается: \[ \Delta m = \dot{m} \cdot t = 100 \, \text{кг/с} \cdot 120 \, \text{с} = 12000 \, \text{кг}. \]
Новая масса цистерны после вытекания воды: \[ m' = m - \Delta m = 60000 \, \text{кг} - 12000 \, \text{кг} = 48000 \, \text{кг}. \]
Используем второй закон Ньютона: Сила, действующая на цистерну, равна разности приложенной силы и силы, создаваемой потерями массы (изменения импульса): \[ F_{\text{net}} = F - \dot{m}v, \] где \( v \) — скорость цистерны.
Записываем уравнение движения: \[ F = m' a, \] где \( a \) – ускорение цистерны. Подставим в уравнение силы: \[ F - \dot{m}v = m'a. \]
Изменение импульса: Заметим, что при уменьшении массы цистерны скорость будет изменяться. Также можно записать уравнение, связывающее скорость и ускорение: \[ a = \frac{dv}{dt}. \]
Интегрируем: С учетом того, что масса меняется, использование интегральной формы уравнения движения более подходит для данной задачи. Но для упрощения можно воспользоваться средним значением массы:
- Начальная масса \( m = 60000 \) кг.
- Конечная масса \( m' = 48000 \) кг.
- Средняя масса при движении \( \bar{m} = \frac{60000 + 48000}{2} = 54000 \) кг.
Учитывая это, можем выразить ускорение как: \[ 4800 = 54000 a \implies a = \frac{4800}{54000} \approx 0.08889 \, \text{м/с}^2. \]
Находим конечную скорость: \[ v = at = 0.08889 \, \text{м/с}^2 \cdot 120 \, \text{с} \approx 10.6668 \, \text{м/с}. \]
Таким образом, через две минуты модуль скорости цистерны будет примерно 10.67 м/с.
