Уравнение кривой второго порядка 4x^2-9y^2-8x-6y+39=0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. построить кривую

Чтобы привести уравнение кривой второго порядка \(4x^2 - 9y^2 - 8x - 6y + 39 = 0\) к каноническому виду, начнем с выделения полного квадрата для переменных \(x\) и \(y\).

1. Упрощение уравнения: Перепишем уравнение, сгруппировав подобные члены:

\[ 4x^2 - 8x - 9y^2 - 6y + 39 = 0. \]

2. Выделение полного квадрата для \(x\):

   • У нас есть выражение \(4x^2 - 8x\). Для выделения полного квадрата, мы можем факторизовать 4: \[ 4(x^2 - 2x). \]
   • Теперь, чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем \((\frac{2}{2})^2 = 1\): \[ 4(x^2 - 2x + 1 - 1) = 4((x-1)^2 - 1) = 4(x-1)^2 - 4. \]

3. Выделение полного квадрата для \(y\):

   • У нас есть выражение \(-9y^2 - 6y\). Вынесем -9: \[ -9(y^2 + \frac{2}{3}y). \]
   • Теперь добавим и вычтем \((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\): \[ -9(y^2 + \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) = -9((y + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) = -9(y + \frac{1}{3})^2 + 1. \]

4. Подстановка в общее уравнение: Подставим полученные выражения обратно в уравнение: \[ 4((x-1)^2 - 1) - 9((y + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) + 39 = 0. \] Упростим это выражение: \[ 4(x-1)^2 - 4 - 9(y + \frac{1}{3})^2 + 1 + 39 = 0. \] Переписываем: \[ 4(x-1)^2 - 9(y + \frac{1}{3})^2 + 36 = 0. \] Переместим 36 в правую часть: \[ 4(x-1)^2 - 9(y + \frac{1}{3})^2 = -36. \] Теперь разделим на -36: \[ -\frac{4(x-1)^2}{36} + \frac{9(y + \frac{1}{3})^2}{36} = 1. \] Упростим: \[ \frac{(y + \frac{1}{3})^2}{4} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1. \]

5. Каноническая форма: Уравнение приняло вид: \[ \frac{(y + \frac{1}{3})^2}{4} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1. \] Это уравнение представляет собой гиперболу с центром в точке \((1, -\frac{1}{3})\), а полуоси равны \(2\) по направлению к оси \(y\) и \(3\) по направлению к оси \(x\).

6. Построение кривой:

   • Гипербола имеет вертикальное направление, а оси симметрии проходят через центр.
   • Чтобы построить кривую, можно нарисовать асимптоты, которые дадут представление о поведении гиперболы вдали от центра. Асимптоты будут в виде: \[ y + \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}(x - 1). \]

Теперь вы способны привести уравнение к каноническому виду и изобразить кривую! Если есть вопросы по рисунку или другим аспектам, не стесняйтесь спрашивать!