Реши задачу по алгебре

Привет! Давай разберёмся с задачей. Нам нужно исследовать квадратичную функцию:

\[ y = x^2 + 8x + 12 \]

1. Найти точки пересечения с осью X (нулевые точки):

   Для этого решим уравнение \( x^2 + 8x + 12 = 0 \) с помощью дискриминанта (D):

   1. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \).

   2. Корни уравнения:

      \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2} = -2 \)

      \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2} = -6 \)

2. Находим вершину параболы (экстремум):

   Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).

   Подставляем значения: \( x = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \).

   Подставляем \( x = -4 \) в уравнение и находим соответствующее значение \( y \):

   \( y = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \).

   Значит вершина: \( (-4, -4) \).

3. Интервалы возрастания и убывания:

   Парабола ветвями вверх. Значит:

   • Убывает на интервале \( (-\infty, -4) \),
   • Возрастает на интервале \( (-4, +\infty) \).

4. Значения функции при: -2, -0.5, 2, 1:

   Подставляем точки в уравнение функции:

   • Для \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + 12 = 4 - 16 + 12 = 0 \).
   • Для \( x = -0.5 \): \( y = (-0.5)^2 + 8 \cdot (-0.5) + 12 = 0.25 - 4 + 12 = 8.25 \).
   • Для \( x = 2 \): \( y = 2^2 + 8 \cdot 2 + 12 = 4 + 16 + 12 = 32 \).
   • Для \( x = 1 \): \( y = 1^2 + 8 \cdot 1 + 12 = 1 + 8 + 12 = 21 \).

Надеюсь, помог решить задание! Если остались вопросы, дай знать!