Вдоль аллеи в саду маршировали карточные стражи. Около первого встреченного дерева остановилась половина всех стражей и ещё половина стража. Около второго встреченного дерева остановилась треть марширующих стражей и ещё треть стража. Остальные 29 стражей добрались до третьего дерева. Сколько было карточных стражей изначально?

Обозначим общее количество карточных стражей как \( x \).

1. Около первого дерева остановилась половина всех стражей и ещё половина стража: \[ \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \] Таким образом, количество оставшихся стражей: \[ x - \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \]

2. Около второго дерева остановилась треть марширующих стражей и ещё треть стража: \[ \frac{1}{3} \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3} \] После второго дерева у нас осталось: \[ \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3} \right) \]

Для того чтобы упростить, сначала найдем сколько стражей остановилось у второго дерева: \[ \frac{1}{3} \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \] Таким образом, число стражей, которые остановились у второго дерева: \[ \frac{x}{6} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{x}{6} - \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \]

Теперь, количество оставшихся стражей после второго дерева: \[ \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \right) \]

Приведем к общему знаменателю (6): \[ \frac{3x}{6} - \frac{3}{6} - \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{3x}{6} - \frac{x}{6} - \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2x}{6} - \frac{4}{6} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \]

И согласно условию, это количество равно 29: \[ \frac{x}{3} - \frac{2}{3} = 29 \]

Умножим все уравнение на 3 для очистки дробей: \[ x - 2 = 87 \] \[ x = 89 \]

Таким образом, изначально было 89 карточных стражей.