Безумный Шляпник задумал натуральное число, умножил его на 13 и забыл последнюю цифру результата. Полученное число он умножил на 7 и опять забыл последнюю цифру результата.…

Обозначим задуманное число как \( x \).

1. Действие 1: \( 13x \). Забудем последнюю цифру, получаем \( 13x \mod 10 \).
2. Действие 2: Умножаем на 7 и забываем последнюю цифру, получаем: \[(13x \mod 10) \cdot 7 \mod 10.\]

Запись данного процесса можно представить таким образом: \[ (13x \mod 10) \cdot 7 \mod 10 = 21 \mod 10. \] Поскольку \( 21 \mod 10 = 1 \), мы получаем уравнение: \[ (13x \mod 10) \cdot 7 \mod 10 = 1. \] Итак, нужно найти такие \( 13x \mod 10 \) (обозначим это как \( a \)), чтобы: \[ a \cdot 7 \mod 10 = 1. \]

Теперь определим возможные значения \( a \):

• \( a = 0 \) → \( 0 \cdot 7 \mod 10 = 0 \)
• \( a = 1 \) → \( 1 \cdot 7 \mod 10 = 7 \)
• \( a = 2 \) → \( 2 \cdot 7 \mod 10 = 4 \)
• \( a = 3 \) → \( 3 \cdot 7 \mod 10 = 1 \) (подходит!)
• \( a = 4 \) → \( 4 \cdot 7 \mod 10 = 8 \)
• \( a = 5 \) → \( 5 \cdot 7 \mod 10 = 5 \)
• \( a = 6 \) → \( 6 \cdot 7 \mod 10 = 2 \)
• \( a = 7 \) → \( 7 \cdot 7 \mod 10 = 9 \)
• \( a = 8 \) → \( 8 \cdot 7 \mod 10 = 6 \)
• \( a = 9 \) → \( 9 \cdot 7 \mod 10 = 3 \)

Единственное подходящее значение для \( a \) – это \( 3 \).

Значит: \[ 13x \mod 10 = 3. \] Это означает, что: \[ 13x = 10k + 3 \quad \text{для некоторого целого } k. \]

Теперь вычислим \( 13x \) для разных \( k \):

• Если \( k = 0 \), то \( 13x = 3 \) → \( x = \frac{3}{13} \) (нецелое).
• Если \( k = 1 \), то \( 13x = 13 \) → \( x = 1 \).
• Если \( k = 2 \), то \( 13x = 23 \) → \( x = \frac{23}{13} \) (нецелое).
• Если \( k = 3 \), то \( 13x = 33 \) → \( x = 2.5 \) (нецелое).
• Если \( k = 4 \), то \( 13x = 43 \) → \( x = \frac{43}{13} \) (нецелое).
• Если \( k = 5 \), то \( 13x = 53 \) → \( x = 4 \).
• И так далее.

Проверим целые решения. Из найденных выше \( x = 1 \) и \( x = 4 \) являются подходящими числами.

Проверим каждый на соответствие:

• Для \( x = 1 \): \( 13 \cdot 1 = 13 \), последняя цифра 3, \( 3 \cdot 7 = 21 \) (последняя цифра 1) – подходит.
• Для \( x = 4 \): \( 13 \cdot 4 = 52 \), последняя цифра 2, \( 2 \cdot 7 = 14 \) (последняя цифра 4) – не подходит.

Следовательно, единственное подходящее число \( x \): \[ \boxed{1}. \]