Найдите наибольшее значение функции y=(x210x+10)e10xy = (x^2 - 10x + 10) e^{10 - x}на отрезке [5;11][5; 11].
Привет! Давай разберем твоё задание по профильной математике. Задача была найти наибольшее значение функции \( y = (x^2 - 10x + 10)e^{10 - x} \) на отрезке \([5; 11]\).
Сначала, как ты правильно заметил, нужно найти производную функции \( y \), чтобы определить экстремумы (максимумы и минимумы) функции на данном отрезке.
Для начала, нужно вычислить производную \( y' \). Получаем: \[ y' = (2x - 10)e^{10-x} - (x^2 - 10x + 10)e^{10-x} \] Мы можем вынести \( e^{10-x} \): \[ y' = e^{10-x} \left(2x - 10 - (x^2 - 10x + 10)\right) = e^{10-x} \left(-x^2 + 12x - 20\right) \]
Теперь, чтобы найти критические точки, нам нужно решить уравнение \( -x^2 + 12x - 20 = 0 \), что приводит к \( x^2 - 12x + 20 = 0 \). Решив это уравнение, мы находим корни: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 10 \] Как ты видишь, \( x_1 = 2 \) не попадает в наш отрезок \([5; 11]\), так что мы его игнорируем.
Теперь нам важно проверить поведение функции на концах отрезка:
Посчитаем \( y(5) \) и \( y(11) \):
- Для \( x = 5 \): \[ y(5) = (5^2 - 10 \cdot 5 + 10)e^{10-5} = (25 - 50 + 10)e^5 = -15e^5 \]
- Для \( x = 10 \): \[ y(10) = (10^2 - 10 \cdot 10 + 10)e^{10-10} = (100 - 100 + 10)e^0 = 10 \]
- Для \( x = 11 \): \[ y(11) = (11^2 - 10 \cdot 11 + 10)e^{10 - 11} = (121 - 110 + 10)e^{-1} = 21e^{-1} \] Мы сравниваем \( y(5) \), \( y(10) \) и \( y(11) \):
\( y(10) = 10 \) - это максимальное значение на отрезке \( [5; 11] \).
Итак, наибольшее значение функции на отрезке \([5; 11]\) действительно равно \( 10\), как ты и указал в правильном ответе.
Твой ответ "Ученик не дал ответ на задание" не совсем корректен, потому что в задаче действительно искалось максимальное значение функции. Ожидалось, что ты разберёшься в её значении на границах отрезка и в точке максимума.
Если у тебя есть какие-то вопросы или моменты, которые кажутся неясными, не стесняйся спрашивать! Оцени, пожалуйста, мой ответ: лайк или дизлайк?
