2y''+y'-y=0

Чтобы решить дифференциальное уравнение \(2y'' + y' - y = 0\), начнем с нахождения характеристического уравнения, которое получается при предположении, что решение имеет вид \(y = e^{rt}\), где \(r\) — это некоторый параметр, который мы найдем.

Для начала найдем производные:

• \(y' = re^{rt}\)
• \(y'' = r^2 e^{rt}\)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ 2(r^2 e^{rt}) + (re^{rt}) - (e^{rt}) = 0 \]

Факторизуем \(e^{rt}\) (так как \(e^{rt} \neq 0\)):

\[ 2r^2 + r - 1 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \(2r^2 + r - 1 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь находим корни:

\[ r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} \] \[ r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \]

Таким образом, у нас есть два корня: \(r_1 = \frac{1}{2}\) и \(r_2 = -1\).

Общее решение будет иметь вид:

\[ y(t) = C_1 e^{\frac{1}{2}t} + C_2 e^{-t} \]

где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные константы, которые определяются начальными условиями, если они заданы.

Если у вас есть какие-либо вопросы или требуется дальнейшее уточнение, не стесняйтесь спрашивать!