.
Давай разберемся с этой задачей. У нас есть непрерывная случайная величина \(X\), заданная плотностью распределения:
\[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{3x^2}{64}, & 0 < x \leq 4 \\ 0, & x > 4 \end{cases} \]
Нужно найти математическое ожидание \(E(X)\) этой случайной величины.
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле:
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]
В нашем случае интеграл будет от 0 до 4, так как в других местах функция плотности равна нулю:
\[ E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{3x^2}{64} \, dx \]
Теперь решим этот интеграл:
Упростим выражение под интегралом: \(x \cdot \frac{3x^2}{64} = \frac{3x^3}{64}\).
Вычислим интеграл:
\[ \int_{0}^{4} \frac{3x^3}{64} \, dx = \frac{3}{64} \int_{0}^{4} x^3 \, dx \]
Найдем первообразную \(x^3\): это \(\frac{x^4}{4}\).
Подставим пределы интегрирования:
\[ \frac{3}{64} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{4} = \frac{3}{64} \left( \frac{4^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \]
- Вычислим значение:
\[ = \frac{3}{64} \times 64 = 3 \]
Итак, математическое ожидание равно 3. Правильный ответ — 3, или в нашей задаче это вариант ответа b.
