реши неравенство и выбери верный ответ: x^2-5x+4>0

Давайте решим неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\) шаг за шагом.

1. Находим корни квадратного уравнения: Для этого равенства мы сначала решим уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта.

   Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
   \[D = b^2 - 4ac\]
   где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\).

   Подставляем значения:
   \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]

   Поскольку \(D > 0\), у нас два различных корня. Находим их по формуле:
   \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
   Подставляем значения:
   \[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}\]

   Это дает нам два корня:
   \[x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1\]

2. Анализируем знак выражения: Теперь необходимо определить, где выражение \(x^2 - 5x + 4\) больше нуля. Мы знаем, что это квадратный трёхчлен, который принимает нули в \(x = 1\) и \(x = 4\). Теперь, чтобы выяснить, где он положителен, исследуем промежутки, определяемые этими корнями.

   Промежутки:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

   Проверим знак в каждом из промежутков:

   • Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0\)
   • Для \(1 < x < 4\) (например, \(x = 2\)): \(2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0\)
   • Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0\)

3. Результаты неравенства: Таким образом, \(x^2 - 5x + 4 > 0\) выполняется для промежутков: \[(-\infty, 1) \quad \text{и} \quad (4, +\infty)\]

Итак, итоговое решение:
\[x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\]

Это означает, что любые значения \(x\) меньше 1 или больше 4 удовлетворяют нашему неравенству.