В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание которого лежит в плоскости основа- ния пирамиды, а окружность верхнего основания каса- ется боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если сторона основания пирамиды равна 8√3, а высота цилиндра 2. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол в 45°.

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, будем следовать следующим шагам:

1. Определение параметров пирамиды и цилиндра: Мы знаем, что основание правильной треугольной пирамиды является равнобедренным треугольником с длиной стороны основания 8√3. Высота цилиндра равна 2.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра: Поскольку цилиндр вписан в пирамиду, мы можем рассмотреть, как верхнее основание цилиндра касается боковой поверхности пирамиды. Для нахождения радиуса \( r \) основания цилиндра, нужно учесть, что боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.

   На основании равностороннего треугольника, медиа́на будет равна: \[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 12 \] где \( a = 8\sqrt{3} \) — длина стороны основания пирамиды.

   Поскольку угол между боковой гранью и основанием 45°, радиус основания цилиндра равен: \[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot h = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2} \]

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[ S_{бок} = 2\pi r h \] Подставим найденные значения: \[ S_{бок} = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 4\pi\sqrt{2} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 4\pi\sqrt{2} \) квадратных единиц.