Вектора

Привет! Давай разберем задачи по векторной алгебре.

1. Решение первого уравнения: \( 1) \quad |\vec{a} - 2\vec{b}| \cdot |\vec{a} + 2\vec{b}|\)

   Для начала заметим, что чтобы решить эту задачу, нам понадобятся формулы длины векторов. Длина вектора, скажем, \((\vec{a} - 2\vec{b})\) находят через скалярное произведение: \[ |\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})} \]

   Подставив, получаем: \[ (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b} \cdot \vec{b} \]

   Подставляем данные: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 25\), \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 16\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(120°) = 20 \times (-0.5) = -10\)

   Итак: \[ (\vec{a} - 2\vec{b})^2 = 25 + 40 + 64 = 49 \]

   \( (\vec{a} + 2\vec{b})^2\) аналогично, итого: \((\vec{a} + 2\vec{b}^2) = \sqrt{49} = 7\)

   Уравнение равно \(49\).

2. Вторая задача: \( | \vec{a} - \vec{b} |^2 \)

   Используем формулу: \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}\)

   Подставляем данные: \[ (25) - 2(-10) + 16 = 61 \]

3. Третья задача: \( |7 \vec{a} + \vec{b} |^2 \)

   Воспользуемся: \((7\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} + \vec{b})\)

   Подставив: \[ 49\vec{a} \cdot \vec{a} + 14\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 49 \times 25 + 14(-10) + 16 = 1225 - 140 + 16 = 1101 \]

Если что-то непонятно, пиши, разберем подробнее!