даны координаты точек A1 -1 -4 B-3,-1,0 C-1,2,5 D2,-3,1 найдите косинус угла между векторами AB и CD
Чтобы найти косинус угла между векторами AB и CD, сначала нужно определить сами векторы.
- Найдём координаты вектора AB. Вектор AB можно вычислить по формуле: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \] Где \( \vec{A} = (A_1, A_2, A_3) = (-1, -4, 0) \), а \( \vec{B} = (B_1, B_2, B_3) = (-3, -1, 0) \).
Подставляем значения: \[ \vec{AB} = (-3 - (-1), -1 - (-4), 0 - 0) = (-3 + 1, -1 + 4, 0) = (-2, 3, 0) \]
- Теперь найдем вектор CD: \[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} \] Где \( \vec{C} = (C_1, C_2, C_3) = (-1, 2, 5) \), а \( \vec{D} = (D_1, D_2, D_3) = (2, -3, 1) \).
Подставляем значения: \[ \vec{CD} = (2 - (-1), -3 - 2, 1 - 5) = (2 + 1, -3 - 2, 1 - 5) = (3, -5, -4) \]
Теперь мы можем найти косинус угла между векторами AB и CD. Для этого используем формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} \] где \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{CD}| \) — длины векторов.
Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2) \cdot 3 + 3 \cdot (-5) + 0 \cdot (-4) = -6 - 15 + 0 = -21 \]
Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} \]
Теперь подставим все значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{-21}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-21}{\sqrt{650}} = \frac{-21}{5\sqrt{26}} \quad (\text{так как } \sqrt{650} = 5\sqrt{26}) \]
Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD равен \(\frac{-21}{5\sqrt{26}}\).
