Вычислите: sin 2alpha cos 2alpha и tg 2а, если: 1) sin alpha = - 3/5 и pi < alpha < 3pi / 2 2) cos alpha = 5/13 и 3pi / 2 < alpha < 2pi 3) alpha = - 3/4 и pi / 2 < alpha < pi

Давайте решим поставленные задачи шаг за шагом. Мы будем использовать тригонометрические идентичности и свойства углов.

1) Если \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \):

Чтобы найти \( \cos \alpha \), используем основное тригонометрическое отношение:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \quad (\text{так как в третьем квадранте } \cos < 0) \]

Теперь найдем \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} \]

\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \]

Теперь вычислим \( \tan 2\alpha \):

\[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \]

2) Если \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \):

Сначала найдем \( \sin \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ \sin \alpha = -\frac{12}{13} \quad (\text{так как в четвертом квадранте } \sin < 0) \]

Теперь вычислим \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{5}{13}\right) = -\frac{120}{169} \]

\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} \]

Теперь найдем \( \tan 2\alpha \):

\[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = \frac{120}{119} \]

3) Если \( \alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \):

Поскольку \( \alpha \) - это фиксированное значение, давайте найдём \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):

\[ \sin \alpha = -\frac{3}{4} \quad (\text{второй квадрант, } \sin \text{ положителен}) \] \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

Теперь вычисляем \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{7}}{8} \]

\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{7}{16} - \frac{9}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8} \]

Наконец, находим \( \tan 2\alpha \):

\[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{7}}{8}}{-\frac{1}{8}} = 3\sqrt{7} \]

Таким образом, для всех трех случаев мы получили следующее:

1.

• \( \sin 2\alpha = \frac{24}{25} \)
• \( \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \)
• \( \tan 2\alpha = \frac{24}{7} \)

2.

• \( \sin 2\alpha = -\frac{120}{169} \)
• \( \cos 2\alpha = -\frac{119}{169} \)
• \( \tan 2\alpha = \frac{120}{119} \)

3.

• \( \sin 2\alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{8} \)
• \( \cos 2\alpha = -\frac{1}{8} \)
• \( \tan 2\alpha = 3\sqrt{7} \)

Если будут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!