реши методом интервалов (x-1)(x+3)/(x-7)(x+5)≥0

Для решения неравенства \( \frac{(x-1)(x+3)}{(x-7)(x+5)} \geq 0 \) методом интервалов, следуем следующему алгоритму:

1. Найти нули числителя и знаменателя.

   • Нули числителя: \( x - 1 = 0 \) и \( x + 3 = 0 \)
     • \( x = 1 \) и \( x = -3 \)
   • Нули знаменателя: \( x - 7 = 0 \) и \( x + 5 = 0 \)
     • \( x = 7 \) и \( x = -5 \)

2. Определяем ключевые точки. Это точки \( -5, -3, 1, 7 \). Теперь мы делим числовую прямую на интервалы:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, -3) \)
   • \( (-3, 1) \)
   • \( (1, 7) \)
   • \( (7, +\infty) \)

3. Выбираем тестовые точки для каждого интервала:

   • Для интервала \( (-\infty, -5) \): выберем \( x = -6 \)
   • Для интервала \( (-5, -3) \): выберем \( x = -4 \)
   • Для интервала \( (-3, 1) \): выберем \( x = 0 \)
   • Для интервала \( (1, 7) \): выберем \( x = 2 \)
   • Для интервала \( (7, +\infty) \): выберем \( x = 8 \)

4. Калькулируем знак выражения в каждом интервале:

   • Для \( x = -6 \): \[ \frac{(-6-1)(-6+3)}{(-6-7)(-6+5)} = \frac{(-7)(-3)}{(-13)(-1)} = \frac{21}{13} > 0 \]
   • Для \( x = -4 \): \[ \frac{(-4-1)(-4+3)}{(-4-7)(-4+5)} = \frac{(-5)(-1)}{(-11)(1)} = \frac{5}{-11} < 0 \]
   • Для \( x = 0 \): \[ \frac{(0-1)(0+3)}{(0-7)(0+5)} = \frac{(-1)(3)}{(-7)(5)} = \frac{-3}{-35} > 0 \]
   • Для \( x = 2 \): \[ \frac{(2-1)(2+3)}{(2-7)(2+5)} = \frac{(1)(5)}{(-5)(7)} = \frac{5}{-35} < 0 \]
   • Для \( x = 8 \): \[ \frac{(8-1)(8+3)}{(8-7)(8+5)} = \frac{(7)(11)}{(1)(13)} = \frac{77}{13} > 0 \]

5. Составляем итоговые знаки по интервалам:

   • \( (-\infty, -5) \): \( + \)
   • \( (-5, -3) \): \( - \)
   • \( (-3, 1) \): \( + \)
   • \( (1, 7) \): \( - \)
   • \( (7, +\infty) \): \( + \)

6. Подводим итоги. Мы ищем интервалы, где функция больше или равна нулю:

   • Поскольку в точках \( -3 \) и \( 1 \) числитель равен нулю, а в \( -5 \) и \( 7 \) знаменатель равен нулю (разрывы).
   • Получаем решение: \[ x \in (-\infty, -5) \cup [-3, 1] \cup (7, +\infty) \]

Таким образом, ответ на неравенство: \[ x \in (-\infty, -5) \cup [-3, 1] \cup (7, +\infty) \]