Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655…
Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.
Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим, как формируется сумма вознаграждения за раны. Каждая следующая рана приносит вдвое больше, чем предыдущая. Это можно записать как:
- За первую рану: 1 копейка (2^0)
- За вторую рану: 2 копейки (2^1)
- За третью рану: 4 копейки (2^2)
- За четвертую рану: 8 копеек (2^3)
- И так далее...
Таким образом, сумма вознаграждений за n ран будет равна:
\[ S_n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{(n-1)} \]
Сумма этой геометрической прогрессии может быть рассчитана по формуле:
\[ S_n = 2^n - 1 \]
Теперь давайте выясним, сколько копеек составляет 655 руб. 35 коп. В одной рубле 100 копеек, значит:
\[ 655 \text{ руб.} 35 \text{ коп.} = 65500 + 35 = 65535 \text{ коп.} \]
Подставим это значение в уравнение, равное найденной сумме:
\[ 2^n - 1 = 65535 \]
Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\[ 2^n = 65536 \]
Теперь нужно найти значение n, при котором 2 в степени n равно 65536. Мы знаем, что:
\[ 2^{16} = 65536 \]
Следовательно, \( n = 16 \). Это означает, что воин получил 16 ран.
Таким образом, отвечая на вопрос, число ран, полученных воином, составляет 16.
