3. Большая группа туристов выехала в заграничное турне. Из них владеет английским языком 28 человек, французским - 15, немецким 10, английским и французским 8, французским и…
3. Большая группа туристов выехала в заграничное турне. Из них владеет английским языком 28 человек, французским - 15, немецким 10, английским и французским 8, французским и немецким 5, английским и немецким 6, всеми тремя языками двое, а 41 человек не владеет ни одним из трёх языков. Сколько всего туристов? 2. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 1 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией? . Из 220 школьников 16 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играет в баскетбол и в футбол? 220 Б-16 Φ-175 НЕ ИГР-24
Давайте решим первый вопрос о туристах с использованием принципа включения-исключения.
- Обозначим:
- \( A \) - количество людей, говорящих на английском (28 человек),
- \( B \) - количество людей, говорящих на французском (15 человек),
- \( C \) - количество людей, говорящих на немецком (10 человек).
- \( |A \cap B| = 8 \) (английский и французский),
- \( |B \cap C| = 5 \) (французский и немецкий),
- \( |A \cap C| = 6 \) (английский и немецкий),
- \( |A \cap B \cap C| = 2 \) (все три языка).
Также известно, что 41 человек не владеет ни одним из языков.
Теперь найдем количество людей, владеющих хотя бы одним из языков:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \]
Подставим известные значения:
\[ |A \cup B \cup C| = 28 + 15 + 10 - 8 - 5 - 6 + 2 \] \[ |A \cup B \cup C| = 28 + 15 + 10 - 19 + 2 = 36 \]
Теперь найдем общее количество туристов. Если 41 человек не владеют ни одним из языков, то общее количество туристов равно:
\[ \text{Общее количество туристов} = |A \cup B \cup C| + \text{Количество не знающих языков} \] \[ \text{Общее количество туристов} = 36 + 41 = 77 \]
Таким образом, всего туристов - 77.
Теперь перейдем ко второму вопросу о классе учеников.
Пусть \( x \) - количество учеников, занимающихся и математикой, и биологией. Из условия знаем:
- Всего в классе 35 учеников.
- 20 занимаются математикой.
- 11 занимаются биологией.
- 1 ученик ничем не занимается, значит, 34 ученика занимаются хотя бы чем-то.
По формуле для объединения двух множеств, имеем:
\[ |M \cup B| = |M| + |B| - |M \cap B| \] Где:
- \( |M| = 20 \) (математика),
- \( |B| = 11 \) (биология),
- \( |M \cup B| = 34 \) (все, кто занимается хоть чем-то).
Подставим данные в формулу:
\[ 34 = 20 + 11 - x \] \[ 34 = 31 - x \] \[ x = 31 - 34 \] \[ x = 3 \]
Итак, 3 ученика занимаются и математикой, и биологией.
Теперь перейдем к третьему вопросу о школьниках и играх.
Заданные данные:
- Общее количество школьников \( N = 220 \).
- Количество играющих в баскетбол \( B = 16 \).
- Количество играющих в футбол \( F = 175 \).
- Количество школьников, которые не играют ни в одну из этих игр \( N_0 = 24 \).
Сначала найдем количество школьников, которые играют в хотя бы одну из этих игр:
\[ N_{игра} = N - N_0 = 220 - 24 = 196 \]
Теперь используем формулу для объединения:
\[ N_{игра} = B + F - N_{B \cap F} \] где \( N_{B \cap F} \) - количество школьников, играющих и в баскетбол, и в футбол.
Подставим известные значения:
\[ 196 = 16 + 175 - N_{B \cap F} \] \[ 196 = 191 - N_{B \cap F} \] \[ N_{B \cap F} = 191 - 196 = 5 \]
Таким образом, 5 школьников одновременно играют в баскетбол и в футбол.
