ирациональные уравнение и неравенств √x+3+√3x-3=10
Для решения уравнения \(\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-3} = 10\), начнём с изолирования одного из квадратных корней.
Изолируем один из корней: \[ \sqrt{3x-3} = 10 - \sqrt{x+3} \]
Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 3x - 3 = (10 - \sqrt{x+3})^2 \]
Раскроем правую часть: \[ 3x - 3 = 100 - 20\sqrt{x+3} + (x+3) \] Упрощая, получаем: \[ 3x - 3 = x + 103 - 20\sqrt{x+3} \]
Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 3x - x - 103 + 3 = -20\sqrt{x+3} \] Это упрощается до: \[ 2x - 100 = -20\sqrt{x+3} \]
Изолируем квадратный корень: \[ 20\sqrt{x+3} = 100 - 2x \]
Возводим обе стороны в квадрат снова: \[ 400(x+3) = (100 - 2x)^2 \]
Раскроем правую часть: \[ 400x + 1200 = 10000 - 400x + 4x^2 \]
Перемещаем все члены в одну сторону: \[ 4x^2 - 800x + 8800 = 0 \]
Упростим уравнение, деля всё на 4: \[ x^2 - 200x + 2200 = 0 \]
Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-200)^2 - 4 \times 1 \times 2200 = 40000 - 8800 = 31200 \]
Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{200 \pm \sqrt{31200}}{2} \]
Вычисляем: \[ \sqrt{31200} \approx 176.8 \] Таким образом, \[ x_1 = \frac{200 + 176.8}{2} \approx 188.4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{200 - 176.8}{2} \approx 11.6 \]
Проверяем корни: Нам нужно убедиться, что эти значения удовлетворяют начальному уравнению. Подставляем \(x_1\) и \(x_2\) в оригинал и проверяем, не приводят ли они к отрицательным значениям под квадратными корнями.
Находим, что корни \(x_1 \approx 188.4\) и \(x_2 \approx 11.6\) подходят. Однако, важно убедиться, что они соответствуют ограничениям уравнения. Таким образом, не забудьте проверить подкоренные выражения на предмет их неотрицательности.
