Найти числовые характеристики дискретных случайных величин: студенту задается 3 вопроса.Вероятность ответа на каждый из них 0,9.Составить закон распределения Х-числа ответов…
Найти числовые характеристики дискретных случайных величин: студенту задается 3 вопроса.Вероятность ответа на каждый из них 0,9.Составить закон распределения Х-числа ответов студента.Вычислить М(х); Д(х);0(х).
Для решения данной задачи необходимо сначала определить закон распределения дискретной случайной величины \(X\), которая представляет собой количество правильных ответов студента на 3 вопроса с вероятностью успеха \(p = 0.9\).
Так как каждый вопрос является независимым испытанием, количество правильных ответов \(X\) подчиняется биномиальному распределению с параметрами \(n = 3\) (количество вопросов) и \(p = 0.9\) (вероятность правильного ответа на каждый вопрос).
Формула для закона распределения биномиальной случайной величины следующая:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальные коэффициенты,
- \(p\) — вероятность успеха (правильного ответа),
- \(1 - p\) — вероятность неуспеха (неправильного ответа).
Для \(n = 3\) и \(p = 0.9\) можем вычислить:
- \(P(X = 0)\) — студент не ответил правильно ни на один вопрос,
- \(P(X = 1)\) — студент ответил правильно на 1 вопрос,
- \(P(X = 2)\) — студент ответил правильно на 2 вопроса,
- \(P(X = 3)\) — студент ответил правильно на все 3 вопроса.
Вычислим вероятности:
\(P(X = 0)\): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.001 = 0.001 \]
\(P(X = 1)\): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^2 = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.01 = 0.027 \]
\(P(X = 2)\): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^1 = 3 \cdot 0.81 \cdot 0.1 = 0.243 \]
\(P(X = 3)\): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^0 = 1 \cdot 0.729 \cdot 1 = 0.729 \]
Закон распределения \(X\): \[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.001 \\ P(X = 1) & = 0.027 \\ P(X = 2) & = 0.243 \\ P(X = 3) & = 0.729 \\ \end{align*} \]
Вычислим математическое ожидание \(M(X)\): Формула для математического ожидания биномиального распределения: \[ M(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0.9 = 2.7 \]
Вычислим дисперсию \(D(X)\): Формула для дисперсии биномиального распределения: \[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.27 \]
Вычислим стандартное отклонение \(σ(X)\): \[ σ(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.27} \approx 0.52 \]
Таким образом, числовые характеристики дискретной случайной величины \(X\) следующие:
- Закон распределения: \(P(X = 0) = 0.001\), \(P(X = 1) = 0.027\), \(P(X = 2) = 0.243\), \(P(X = 3) = 0.729\)
- Математическое ожидание \(M(X) = 2.7\)
- Дисперсия \(D(X) = 0.27\)
- Стандартное отклонение \(σ(X) \approx 0.52\)
