X²+9x+8<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 9x + 8 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего равенства \( x^2 + 9x + 8 = 0 \).

Для этого используем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 9 \), и \( c = 8 \). Подставим значения:

\[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]

Корни уравнения можно найти с помощью формулы:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 7}{2} \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-9 + 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-9 - 7}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Таким образом, корни уравнения — это \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -8 \).

Теперь определим промежутки, в которыхquadratic функция ниже нуля. Неравенство \( x^2 + 9x + 8 < 0 \) будет истинным, когда парабола, открывающаяся вверх (поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный), находится ниже оси \( x \). Это происходит между корнями:

\[ -8 < x < -1 \]

Следовательно, решение неравенства \( x^2 + 9x + 8 < 0 \) — это промежуток:

\[ (-8, -1) \]

Таким образом, ответ: \( x \in (-8, -1) \).