X²+4x+7>0

Для решения неравенства \(x² + 4x + 7 > 0\), начнем с анализа квадратичного выражения.

1. Найдем дискриминант: Дискриминант (D) для квадратичного уравнения \(ax² + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b² - 4ac\). В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 7\). Подставим значения: \[ D = 4² - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 \]

2. Анализируем дискриминант: Дискриминант меньше нуля (D < 0), что означает, что квадратное уравнение \(x² + 4x + 7 = 0\) не имеет действительных корней. Это означает, что график параболы, описываемой данным уравнением, не пересекает ось x.

3. Определим направление параболы: Поскольку коэффициент при \(x²\) положителен (a = 1 > 0), парабола направлена вверх.

4. Заключение: Поскольку парабола не пересекает ось x и всегда находится выше неё, выражение \(x² + 4x + 7\) всегда больше нуля для всех значений \(x\).

Таким образом, неравенство \(x² + 4x + 7 > 0\) верно для всех \(x\) из множества действительных чисел.