|a+b|<или=|a|+|b| Докажите
Чтобы доказать неравенство \( |a+b| \leq |a| + |b| \), воспользуемся свойствами модулей и неравенством треугольника.
Свойство модуля: Модуль числа – это его абсолютное значение, которое, по сути, показывает, насколько это число далеко от нуля на числовой прямой. Например, \( |a| \) и \( |b| \) представляют расстояния от нуля до точек \( a \) и \( b \).
Неравенство треугольника: Существует основное неравенство, известное как неравенство треугольника, которое гласит, что для любых чисел \( a \) и \( b \) выполняется: \[ |a + b| \leq |a| + |b| \] Это неравенство утверждает, что длина (модуль) суммы двух чисел всегда меньше или равна сумме их модулей.
Доказательство: Рассмотрим два случая:
- Если \( a \) и \( b \) имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то сумма \( a + b \) будет иметь тот же знак, что и \( a \) и \( b \). В этом случае: \[ |a + b| = |a| + |b| \]
- Если \( a \) и \( b \) имеют разные знаки, мы можем использовать свойства модулей, чтобы показать, что: \[ |a+b| \leq |a| + |b| \]
Таким образом, в любом случае мы приходим к равенству или неравенству \( |a + b| \leq |a| + |b| \).
Это неравенство имеет важное значение в различных областях математики и находит применение в анализе, геометрии и многих других отраслях.
Таким образом, неравенство \( |a+b| \leq |a| + |b| \) доказано.
