x-4/x+1-10/x²-1=4/9

Давайте решим уравнение:

\[ \frac{x - 4}{x + 1} - \frac{10}{x^2 - 1} = \frac{4}{9}. \]

Во-первых, упростим вторую часть уравнения. Заметим, что \(x^2 - 1\) можно разложить на множители:

\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{x - 4}{x + 1} - \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{9}. \]

Теперь найдем общий знаменатель для левой части, который будет равен \((x - 1)(x + 1)\). Умножим первую дробь на \((x - 1)/(x - 1)\):

\[ \frac{(x - 4)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{9}. \]

Теперь объединяем дроби:

\[ \frac{(x - 4)(x - 1) - 10}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{9}. \]

Распределим первую дробь в числителе:

\[ (x - 4)(x - 1) = x^2 - x - 4x + 4 = x^2 - 5x + 4. \]

Теперь у нас получается:

\[ \frac{x^2 - 5x + 4 - 10}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{9}. \]

Упрощаем числитель:

\[ x^2 - 5x + 4 - 10 = x^2 - 5x - 6. \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \frac{x^2 - 5x - 6}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{9}. \]

Теперь перекрестно перемножим:

\[ 9(x^2 - 5x - 6) = 4(x - 1)(x + 1). \]

Распределим правую часть:

\[ 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4. \]

Теперь у нас есть:

\[ 9x^2 - 45x - 54 = 4x^2 - 4. \]

И теперь приведем все к одному знаку:

\[ 9x^2 - 4x^2 - 45x - 54 + 4 = 0. \]

Упрощаем:

\[ 5x^2 - 45x - 50 = 0. \]

Теперь делим на 5:

\[ x^2 - 9x - 10 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

Здесь \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = -10\):

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}. \]

Упрощаем вычисления:

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{9 \pm 11}{2}. \]

Это даёт:

1. \(x = \frac{20}{2} = 10\)
2. \(x = \frac{-2}{2} = -1\)

Однако, необходимо удостовериться, что полученные значения не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Значение \(x = -1\) делает знаменатель равным нулю. Следовательно, оно не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

\[ x = 10. \]

Если у вас будут еще вопросы или вы захотите разобраться с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!