x-4/x+1-10/x2-1=4/9 решить уравнение и найти дискриминант

Чтобы решить уравнение \(\frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = \frac{4}{9}\), начнем с упрощения выражения.

1. Заметим, что \(x^2-1\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]

2. Умножим обе стороны уравнения на \(9(x+1)(x-1)\) для исключения дробей: \[ 9(x-4)(x-1) - 90 = 4(x+1)(x-1) \]

3. Раскроем скобки: \[ 9(x^2 - x - 4x + 4) - 90 = 4(x^2 - 1) \] \[ 9(x^2 - 5x + 4) - 90 = 4x^2 - 4 \]

4. Упрощаем каждую сторону: \[ 9x^2 - 45x + 36 - 90 = 4x^2 - 4 \] \[ 9x^2 - 45x - 54 = 4x^2 - 4 \]

5. Переносим все на одну сторону: \[ 9x^2 - 4x^2 - 45x + 4 - 54 = 0 \] \[ 5x^2 - 45x - 50 = 0 \]

6. Упрощаем уравнение, разделив на 5: \[ x^2 - 9x - 10 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = -10\): \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \]

Дискриминант \(D = 121\). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Чтобы найти корни, используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 11}{2} \]

Теперь находим корни:

1. \(x_1 = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
2. \(x_2 = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Таким образом, уравнение имеет два решения: \(x = 10\) и \(x = -1\). Дискриминант равен 121.