458 Вычислить: 1) sin a, tga и ctga, если cos a = - 3/5 pi/2 < a < pi 2) cos alpha tga и ctga, если sin a = - 2/5 и pi < a < (3pi)/2

Давайте решим обе задачи по порядку.

Задача 1:

Дано: \(\cos a = -\frac{3}{5}\) и угол \(a\) находится в интервале \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\).

1. Сначала найдем \(\sin a\). Мы используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим известное значение \(\cos a\): \[ \sin^2 a + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \] Так как угол \(a\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) (второй квадрат), \(\sin a\) будет положительным: \[ \sin a = \frac{4}{5} \]

2. Теперь найдем \(\tan a\) (tga): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \]

3. Теперь вычислим \(\cot a\) (ctga): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = -\frac{3}{4} \]

Ответ на Задачу 1:

\[ \sin a = \frac{4}{5}, \quad \tan a = -\frac{4}{3}, \quad \cot a = -\frac{3}{4} \]

Задача 2:

Дано: \(\sin a = -\frac{2}{5}\) и угол \(a\) находится в интервале \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\).

1. Найдем \(\cos a\): \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим известное значение \(\sin a\): \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{4}{25} + \cos^2 a = 1 \] \[ \cos^2 a = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \] Однако, поскольку угол \(a\) находится в диапазоне \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\) (третий квадрат), \(\cos a\) будет отрицательным: \[ \cos a = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]

2. Теперь найдем \(\tan a\): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} \]

3. Найдем \(\cot a\): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{21}}{2} \]

Ответ на Задачу 2:

\[ \cos a = -\frac{\sqrt{21}}{5}, \quad \tan a = \frac{2}{\sqrt{21}}, \quad \cot a = \frac{\sqrt{21}}{2} \]

Таким образом, мы успешно решили обе задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!