Площадь полной поверхности одного шара 43. Найти площадь полной поверхности другого шара, объём которого в 27 раз больше объёма первого шара
Чтобы решить задачу, начнем с формулы для площади полной поверхности шара и его объёма.
Формула площади полной поверхности шара: \[ S = 4\pi r^2 \] где \( S \) — площадь, \( r \) — радиус шара.
Формула объёма шара: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \] где \( V \) — объём.
Мы знаем, что площадь полного поверхности первого шара равна 43. Используем это, чтобы найти радиус первого шара:
\[ 4\pi r_1^2 = 43 \]
Теперь выразим радиус \( r_1 \):
\[ r_1^2 = \frac{43}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad r_1 = \sqrt{\frac{43}{4\pi}} \]
Теперь перейдем ко второму шару. По условию, объём второго шара в 27 раз больше объёма первого. Обозначим объём первого шара как \( V_1 \):
\[ V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 \]
Объём второго шара \( V_2 \) будет равен:
\[ V_2 = 27 V_1 = 27 \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3 = 36\pi r_1^3 \]
Используем формулу для объёма шара снова, чтобы найти радиус второго шара \( r_2 \):
\[ V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 \]
Приравняем \( V_2 \) и решим для \( r_2 \):
\[ 36\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 36 r_1^3 = \frac{4}{3} r_2^3 \quad \Rightarrow \quad r_2^3 = 108 r_1^3 \quad \Rightarrow \quad r_2 = \sqrt[3]{108} r_1 \]
Теперь мы найдем площадь полной поверхности второго шара \( S_2 \):
\[ S_2 = 4\pi r_2^2 = 4\pi \left(\sqrt[3]{108} r_1\right)^2 = 4\pi \cdot \left(\sqrt[3]{108}\right)^2 \cdot r_1^2 \]
Подставим значение \( r_1^2 \):
\[ S_2 = 4\pi \cdot \frac{(108^{2/3})}{4\pi} = 108^{2/3} \]
Чтобы вычислить \( 108^{2/3} \), рассмотрим:
\[ 108 = 36 \times 3 = 6^2 \times 3 \] Значит: \[ 108^{2/3} = (6^2 \cdot 3)^{2/3} = 6^{4/3} \cdot 3^{2/3} \]
Теперь можно найти значение:
\[ S_2 = 36\sqrt{3} \]
Таким образом, площадь полной поверхности второго шара составляет \( 36\sqrt{3} \).
Для более точного числового значения (если требуется) можно вычислить приближенно:
\[ \sqrt{3} \approx 1.732 \quad \Rightarrow \quad S_2 \approx 36 \times 1.732 = 62.352 \]
Итак, площадь полной поверхности второго шара приблизительно равна 62.35 единиц площади.
