Реши через квадратное уравнение Сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел равна 590. найдите эти числа

Чтобы решить задачу, сначала обозначим три последовательных натуральных числа. Пусть первое число будет \( n \), тогда следующие два числа будут \( n + 1 \) и \( n + 2 \).

Сумма квадратов этих чисел может быть записана следующим образом:

\[ n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 590 \]

Теперь упростим левую часть уравнения:

\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) \]

Сложим все члены:

\[ n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 5 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 3n^2 + 6n + 5 = 590 \]

Переносим 590 влево:

\[ 3n^2 + 6n + 5 - 590 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 3n^2 + 6n - 585 = 0 \]

Теперь это уравнение можем упростить на 3:

\[ n^2 + 2n - 195 = 0 \]

Теперь используем формулу квадратного уравнения \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -195 \).

Сначала найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 4 + 780 = 784 \]

Теперь находим корни:

\[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{-2 \pm 28}{2} \]

Решения:

1. \( n = \frac{26}{2} = 13 \)
2. \( n = \frac{-30}{2} = -15 \) (не является натуральным числом)

Таким образом, первое число \( n = 13 \). Последовательно, у нас три числа: \( 13 \), \( 14 \) и \( 15 \).

Ответ: три последовательных натуральных числа — 13, 14 и 15.