В прямоугольном треугольнике высота h_c к гипотенузе c равна c/4. Определить острые углы треугольника.

В прямоугольном треугольнике, если высота \( h_c \) к гипотенузе \( c \) равна \( \frac{c}{4} \), мы можем использовать свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике производим следующие шаги:

1. Обозначим острые углы как \( A \) и \( B \).
2. Используем теорему Герона для высоты: высота \( h_c \) к гипотенузе \( c \) равна \( \frac{ab}{c} \), где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.
3. Учитывая, что \( h_c = \frac{c}{4} \), мы можем написать:

\[ \frac{ab}{c} = \frac{c}{4} \]

4. Умножим обе стороны на \( 4c \):

\[ 4ab = c^2 \]

5. Поскольку мы имеем прямоугольный треугольник, можно использовать тригонометрические функции, которые связывают углы и стороны. По соотношению:

• \( a = c \cdot \cos(A) \)
• \( b = c \cdot \sin(A) \)

6. Подстановив \( a \) и \( b \) в уравнение \( 4ab = c^2 \):

\[ 4(c \cdot \cos(A))(c \cdot \sin(A)) = c^2 \]

7. Упростим это уравнение:

\[ 4c^2 \cdot \cos(A) \cdot \sin(A) = c^2 \]

8. Это упрощается до:

\[ 4 \cos(A) \sin(A) = 1 \]

9. Используя формулу \( \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \), получаем:

\[ 2 \sin(2A) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin(2A) = \frac{1}{2} \]

10. Значит, \( 2A \) может принимать значение \( 30^\circ \) или \( 150^\circ \). Наиболее подходящее значение для треугольника - это \( 2A = 30^\circ \), что приводит к:

\[ A = 15^\circ \]

11. Остальной острый угол будет:

\[ B = 90^\circ - A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \]

Таким образом, острые углы треугольника равны \( 15^\circ \) и \( 75^\circ \).