Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирова- ния. Моторная лодка проходит 16 км по течению реки на 12 мин бы-стрее, чем то же расстояние против течения. Найдите…

Для решения задачи выделим три этапа математического моделирования:

Этап 1: Формулирование задачи и определение переменных

Обозначим:

• \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч).
• Скорость течения реки: \( v_{т} = 2 \) км/ч.
• Общая скорость лодки по течению: \( v + v_{т} = v + 2 \) км/ч.
• Общая скорость лодки против течения: \( v - v_{т} = v - 2 \) км/ч.
• Расстояние: \( S = 16 \) км.
• Время в пути по течению: \( t_{1} \).
• Время в пути против течения: \( t_{2} \).

По условию задачи моторная лодка проходит 16 км по течению на 12 минут (0,2 часа) быстрее, чем те же 16 км против течения: \[ t_{2} = t_{1} + 0.2. \]

Этап 2: Запись уравнений для времени

Согласно формуле для времени: \[ t = \frac{S}{V}, \] можем записать уравнения для \( t_{1} \) и \( t_{2} \): \[ t_{1} = \frac{16}{v + 2}, \quad t_{2} = \frac{16}{v - 2}. \]

Теперь подставим \( t_{1} \) и \( t_{2} \) в уравнение зависимости времени: \[ \frac{16}{v - 2} = \frac{16}{v + 2} + 0.2. \]

Этап 3: Решение уравнения

Умножим все части уравнения на \( (v - 2)(v + 2) \) для устранения дробей: \[ 16(v + 2) = 16(v - 2) + 0.2(v - 2)(v + 2). \] Раскроем скобки: \[ 16v + 32 = 16v - 32 + 0.2(v^2 - 4). \] Преобразуем уравнение: \[ 16v + 32 = 16v - 32 + 0.2v^2 - 0.8. \] Упростим: \[ 32 + 32 + 0.8 = 0.2v^2, \] \[ 64.8 = 0.2v^2. \] Умножим обе стороны на 5: \[ 324 = v^2. \] Теперь найдем \( v \): \[ v = \sqrt{324} = 18 \text{ км/ч}. \]

Ответ:

Собственная скорость лодки составляет 18 км/ч.