В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 100, а высота равна 5. Тогда длина диагонали этой призмы:

Чтобы найти длину диагонали правильной четырёхугольной призмы, нам понадобятся размеры её основания и высота.

1. Площадь основания: Дана площадь основания, которая равна 100. Поскольку основание правильно, это квадрат. Давайте найдем длину стороны квадрата: \[ S = a^2, \] где \( S \) — площадь, \( a \) — длина стороны квадрата. Тогда \[ a^2 = 100 \implies a = \sqrt{100} = 10. \]

2. Высота призмы: Дано, что высота призмы равна 5.

Теперь мы знаем, что основание призмы является квадратом со стороной 10, а высота равна 5.

3. Нахождение длины диагонали призмы: Диагональ призмы простирается от одного угла основания до соответствующего угла верхнего основания. Для её вычисления мы можем использовать теорему Пифагора.

Длина диагонали основания (квадрата) будет равна: \[ d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}. \]

Теперь, чтобы найти общую длину диагонали призмы (которая равна длине диагонали основания плюс вертикальная высота), мы используем теорему Пифагора: \[ d_{призмы} = \sqrt{d_{осн}^2 + h^2}. \] Подставляем значения: \[ d_{призмы} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{200 + 25} = \sqrt{225} = 15. \]

Таким образом, длина диагонали правильной четырёхугольной призмы составляет 15 единиц.