2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x ^ 3 - 2x ^ 2 + x + 3 2) f(x) = e ^ x * (2x - 3)

Чтобы найти экстремумы функции, нужно выполнить несколько шагов: вычислить производную функции, найти критические точки, а затем определить, является ли каждая из критических точек минимумом или максимумом.

1. Для функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \):

   1. Найдём первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]

   2. Установим первую производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]

   3. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{6} = \frac{5}{6}, \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{6} = \frac{1}{3} \]

   4. Теперь проверим, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом, вычислив вторую производную: \[ f''(x) = 6x - 4 \]

   • Для \( x_1 = \frac{5}{6} \): \[ f''\left(\frac{5}{6}\right) = 6 \cdot \frac{5}{6} - 4 = 5 - 4 = 1 \quad (f'' > 0 \Rightarrow \text{мин.}) \]
   • Для \( x_2 = \frac{1}{3} \): \[ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 \quad (f'' < 0 \Rightarrow \text{ макс.}) \]

   Итак, экстремумы функции:

   • Минимум в \( x = \frac{5}{6} \)
   • Максимум в \( x = \frac{1}{3} \)

2. Для функции \( f(x) = e^x (2x - 3) \):

   1. Найдём первую производную с использованием произведения: \[ f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1) \]

   2. Установим первую производную равной нулю: \[ e^x(2x - 1) = 0 \] Так как \( e^x \neq 0 \) для всех \( x \), решаем: \[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \]

   3. Найдём вторую производную для определения характера экстремума: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}[e^x(2x - 1)] = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 1 + 2) = e^x(2x + 1) \]

   • Проверим на \( x = \frac{1}{2} \): \[ f''\left(\frac{1}{2}\right) = e^{1/2} \cdot (2 \cdot \frac{1}{2} + 1) = e^{1/2} \cdot 2 \quad (f'' > 0 \Rightarrow \text{мин.}) \]

   Таким образом, экстримум функции:

   • Минимум в \( x = \frac{1}{2} \)

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!