Велосипедист и мотоциклист начинают одновременно Движение из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста в 2 раза больше, чем велосипедиста. Во сколько раз боль- шую скорость разовьет…

Давайте разберем оба вопроса.

1. Велосипедист и мотоциклист

Указано, что ускорение мотоциклиста в 2 раза больше, чем ускорение велосипедиста. Обозначим ускорение велосипедиста как \( a \), тогда ускорение мотоциклиста будет \( 2a \).

а) Во сколько раз большую скорость разовьет мотоциклист за одно и то же время?

Скорость при равноускоренном движении можно выразить через начальную скорость, ускорение и время по формуле: \[ v = v_0 + a \cdot t \] где:

• \( v \) — конечная скорость,
• \( v_0 \) — начальная скорость (в нашем случае 0, так как оба начинают с покоя),
• \( a \) — ускорение,
• \( t \) — время.

Для велосипедиста: \[ v_{вел} = 0 + a \cdot t = a \cdot t \]

Для мотоциклиста: \[ v_{мото} = 0 + 2a \cdot t = 2a \cdot t \]

Теперь можем найти, во сколько раз мотоциклист быстрее велосипедиста: \[ \frac{v_{мото}}{v_{вел}} = \frac{2a \cdot t}{a \cdot t} = 2 \]

Таким образом, мотоциклист развивает скорость в 2 раза больше, чем велосипедист за одно и то же время.

б) На одном и том же пути?

В этом случае воспользуемся формулой для нахождения пути при равноускоренном движении: \[ S = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Для велосипедиста: \[ S_{вел} = 0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 = \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Для мотоциклиста: \[ S_{мото} = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (2a) \cdot t^2 = a \cdot t^2 \]

Теперь найдём, во сколько раз скорость мотоциклиста больше: Сначала выясним, сколько времени потребуется каждому для того, чтобы проехать один и тот же путь \( S \).

Пусть: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot t_{вел}^2 \] \[ S = a \cdot t_{мото}^2 \]

Приравняв пути, получаем: \[ \frac{1}{2} a \cdot t_{вел}^2 = a \cdot t_{мото}^2 \]

Сокращаем \( a \) (предполагаем, что \( a \neq 0 \)): \[ \frac{1}{2} t_{вел}^2 = t_{мото}^2 \]

Теперь извлекаем корень: \[ t_{вел} = \sqrt{2} \cdot t_{мото} \]

Теперь найдём скорости, используя найденные времена: Скорость велосипедиста: \[ v_{вел} = a \cdot t_{вел} = a \cdot (\sqrt{2} \cdot t_{мото}) = a\sqrt{2} \cdot t_{мото} \]

Скорость мотоциклиста: \[ v_{мото} = 2a \cdot t_{мото} \]

Теперь делим: \[ \frac{v_{мото}}{v_{вел}} = \frac{2a \cdot t_{мото}}{a\sqrt{2} \cdot t_{мото}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Таким образом, мотоциклист развивает скорость примерно в \( 1.41 \) раза больше, чем велосипедист на одном и том же пути.

2. Автомобиль

Автомобиль движется равноускоренно с начальной скоростью \( v_0 = 5 \, \text{м/с} \) и ускорением \( a = 2 \, \text{м/с}^2 \). Нам нужно найти время, за которое он проедет \( S = 150 \, \text{м} \).

Используем формулу для пути: \[ S = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Подставляем известные значения: \[ 150 = 5t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 \] \[ 150 = 5t + t^2 \]

Это можно привести к стандартному квадратному уравнению: \[ t^2 + 5t - 150 = 0 \]

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, \, b = 5, \, c = -150 \).

Находим дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \]

Теперь подставляем в формулу: \[ t = \frac{-5 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 25}{2} \]

Находим положительный корень: \[ t = \frac{20}{2} = 10 \, \text{с} \]

Теперь находим скорость автомобиля через 10 секунд: \[ v = v_0 + a \cdot t = 5 + 2 \cdot 10 = 5 + 20 = 25 \, \text{м/с} \]

Таким образом, автомобиль проедет 150 метров за 10 секунд и его скорость в этот момент будет 25 м/с.