Производственная функция фирмы равна Q=K^1/4*L^3/4 . Цена капитала равна 4 тысяч рублей. Цена труда равна 12 тысяч рублей. Какое количество капитала и труда должна иметь фирма для выпуска 300 единиц?
Чтобы определить, какое количество капитала (K) и труда (L) требуется фирме для производства 300 единиц продукции, используя производственную функцию \( Q = K^{1/4} \cdot L^{3/4} \), мы можем следовать следующему алгоритму.
Запишем уравнение для данной производственной функции: \[ 300 = K^{1/4} \cdot L^{3/4} \]
Выразим одну переменную через другую. Давайте выразим \( K \) через \( L \): \[ K^{1/4} = \frac{300}{L^{3/4}} \] Возводим обе стороны в четвертую степень: \[ K = \left(\frac{300}{L^{3/4}}\right)^4 = \frac{300^4}{L^3} \]
Определим условия минимизации затрат. Для этого используем цены на капитал и труд: \[ C = 4K + 12L \] Подставим выражение для \( K \): \[ C = 4\left(\frac{300^4}{L^3}\right) + 12L \]
Найдем производные и оптимизируем затраты. Нам нужно решить задачу оптимизации по \( L \). Для этого вычислим производную: \[ C'(L) = -4 \cdot 3 \cdot \frac{300^4}{L^4} + 12 = 0 \]
Переносим: \[ 12 = 12 \cdot \frac{300^4}{L^4} \] Упростим уравнение: \[ 1 = \frac{300^4}{L^4} \implies L^4 = 300^4 \implies L = 300 \]
Теперь найдем \( K \), подставив найденное значение \( L = 300 \) обратно в уравнение для \( K \): \[ K = \frac{300^4}{300^3} = 300 \]
Таким образом, для выпуска 300 единиц продукции фирме нужно:
- Количество труда \( L = 300 \) единиц,
- Количество капитала \( K = 300 \) единиц.
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
