Никанор бросает симметричную монету 101 раз. Во сколько раз вероятность события «орёл выпадет ровно 84 ра-за» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз»?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой вероятности для биномиального распределения. Вероятность того, что монета, бросаемая \( n \) раз, выпадет \( k \) раз с заданным шансом \( p \), определяется формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Здесь \( n = 101 \), и поскольку монета симметричная, \( p = \frac{1}{2} \) для "орла" и \( p = \frac{1}{2} \) для "решки".

1. Вероятность того, что «орёл» выпадет ровно 84 раза:

   Для события «орёл выпадет ровно 84 раз»:

\[ P(X = 84) = C(101, 84) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{84} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101-84} = C(101, 84) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101} \]

2. Вероятность того, что «решка» выпадет ровно 16 раз:

   Заметим, что если "решка" выпадает 16 раз, значит "орёл" выпадет \( 101 - 16 = 85 \) раз. Мы можем записать:

\[ P(Y = 16) = C(101, 16) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101-16} = C(101, 16) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101} \]

3. Сравним вероятности:

Теперь считаем, во сколько раз вероятность события "орёл выпадает 84 раза" превосходит вероятность события "решка выпадает 16 раз":

\[ \text{Ratio} = \frac{P(X = 84)}{P(Y = 16)} = \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} \]

Мы знаем, что \( C(n, k) = C(n, n-k) \), следовательно:

\[ C(101, 84) = C(101, 17) \]

Таким образом,

\[ \text{Ratio} = \frac{C(101, 17)}{C(101, 16)} \]

Поскольку \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),это равенство можно упростить:

\[ \text{Ratio} = \frac{C(101, 17)}{C(101, 16)} = \frac{101!/(17!(101-17)!)}{101!/(16!(101-16)!)} = \frac{16! \cdot (101-16)!}{17! \cdot (101-17)!} = \frac{(101-16)!}{17 \cdot (101-17)!} = \frac{101-16}{17} = \frac{85}{17} = 5 \]

Таким образом, вероятность события «орёл выпадает ровно 84 раза» превосходит вероятность события «решка выпадает ровно 16 раз» в 5 раз.