121. Радиусом R = 0,12 м описана дуга, радианная мера которой равна 2,5. Найдите длину этой дуги. 122. Вычислите в радианной мере величину вписанного угла, опирающегося на дугу, радианная мера которой 4/15 π. 123. Величина дуги в радианной мере равна 5π/9 Под каким углом из точек этой дуги видна стягивающая ее хорда? 124. Вычислите (рад/с) угловые скорости v часовой, v минутной и v секундной стрелок. 125. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 6. Вычислите их величины в радианной мере.

121. Длину дуги можно найти по формуле: \[ L = R \cdot \phi \] где \( L \) — длина дуги, \( R \) — радиус окружности, а \( \phi \) — радианная мера угла. Подставим данные: \[ R = 0,12 \, м \] \[ \phi = 2,5 \, рад \] Тогда: \[ L = 0,12 \cdot 2,5 = 0,3 \, м \] Таким образом, длина дуги составляет 0,3 метра.

122. Существует связь между вписанным углом и дугой. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается. Если радианная мера дуги составляет \( \frac{4}{15} \pi \), то: \[ \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} \pi = \frac{2}{15} \pi \] Таким образом, величина вписанного угла равна \( \frac{2}{15} \pi \) радиан.

123. Угол, под которым из точек дуги видна хорда, равен половине величины дуги. Если величина дуги равна \( \frac{5\pi}{9} \), то искомый угол \( \theta \) будет равен: \[ \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{9} = \frac{5\pi}{18} \] Таким образом, угол, под которым видна хорда, составляет \( \frac{5\pi}{18} \) радиан.

124. Для вычисления угловых скоростей стрелок часов, минут и секунд можно использовать следующие соотношения:

• Для часовой стрелки \( v_{ч} = \frac{2\pi}{12 \text{ ч}} = \frac{\pi}{6} \, \text{рад/ч} \)
• Для минутной стрелки \( v_{мин} = \frac{2\pi}{60 \text{ мин}} = \frac{\pi}{30} \, \text{рад/мин} \)
• Для секундной стрелки \( v_{сек} = \frac{2\pi}{60 \text{ сек}} = \frac{\pi}{30} \, \text{рад/сек} \)

Переведем, если нужно, в рад/с:

• Часовая: \( \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{3600} = \frac{\pi}{21600} \, \text{рад/с} \)
• Минутная: \( \frac{\pi}{30} \cdot \frac{1}{60} = \frac{\pi}{1800} \, \text{рад/с} \)
• Секундная: \( \frac{\pi}{30} \, \text{рад/с} \)

125. Пусть углы треугольника равны \( x, 2x, 6x \). По свойству углов треугольника: \[ x + 2x + 6x = \pi \] \[ 9x = \pi \] \[ x = \frac{\pi}{9} \] Тогда углы будут равны:

• \( x = \frac{\pi}{9} \)
• \( 2x = \frac{2\pi}{9} \)
• \( 6x = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3} \)

Таким образом, углы треугольника в радианной мере составляют \( \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{2\pi}{3} \).