Чтобы найти поток векторного поля через внешнюю часть сферической поверхности, заданной уравнением x² + y² + z² = 9, расположенной в первом октанте, нужно использовать теорему Гаусса. 1. **Векторное поле**: a(M) = i + (y + z)j + (z - y)k 2. **Сфера**: Уравнение сферы x² + y² + z² = 9 соответствует сфере радиуса 3, расположенной в начале координат.
Чтобы найти поток векторного поля через внешнюю часть сферической поверхности, заданной уравнением \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \), расположенной в первом октанте, действительно, можно использовать теорему Гаусса. Эта теорема связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с интегралом по объему, заключённому внутри этой поверхности.
Шаги решения:
Определение векторного поля: Дано векторное поле: \[ \mathbf{a}(M) = \mathbf{i} + (y + z)\mathbf{j} + (z - y)\mathbf{k}. \]
Подсчёт дивергенции: Для применения теоремы Гаусса сначала нужно вычислить дивергенцию данного векторного поля: \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y} + \frac{\partial a_3}{\partial z}. \] Здесь:
- \( a_1 = 1 \) (постоянная, производная равна 0),
- \( a_2 = y + z \) (производная по \( y \) равна 1),
- \( a_3 = z - y \) (производная по \( z \) равна 1).
Таким образом, вычисляем дивергенцию: \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 0 + 1 + 1 = 2. \]
Интеграл по объему: По теореме Гаусса, поток через поверхность \( S \) равен интегралу дивергенции по объему \( V \), ограниченному этой поверхностью: \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV = \iiint_V 2 \, dV. \]
Определение объема: Объем \( V \) представляет собой одну восьмую части сферы радиусом \( 3 \), так как мы рассматриваем только первый октант. Объём полной сферы вычисляется по формуле: \[ V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi. \] Поэтому объём в первом октанте будет: \[ V = \frac{1}{8} \cdot 36 \pi = 4.5 \pi. \]
Подсчёт потока: Подставим объем в интеграл: \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V 2 \, dV = 2 \cdot V = 2 \cdot 4.5 \pi = 9 \pi. \]
Таким образом, поток векторного поля через внешнюю часть сферической поверхности в первом октанте равен \( 9\pi \).
