исследуйте степенную функцию y=x^7 на монотонность
Чтобы исследовать монотонность степени функции \( y = x^7 \), следует выполнить несколько шагов.
Определение производной: Найдём производную функции \( y \). Для функции \( y = x^7 \) производная будет:
\[ y' = 7x^6 \]
Нахождение критических точек: Критические точки возникают, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, найдем, при каких \( x \) производная равна нулю:
\[ 7x^6 = 0 \]
Это уравнение равно нулю, когда \( x = 0 \).
Анализ знака производной: Теперь необходимо изучить знак производной в интервалах, которые мы получили из критической точки. Разобьём числовую ось на интервалы:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Теперь проверим знак производной \( y' \):
На интервале \( (-\infty, 0) \): выберем, например, \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 7(-1)^6 = 7 > 0 \] Это означает, что функция возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \).
На интервале \( (0, +\infty) \): выберем, например, \( x = 1 \): \[ y'(1) = 7(1)^6 = 7 > 0 \] Это означает, что функция также возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).
Заключение: Мы видим, что функция \( y = x^7 \) возрастает на обоих интервалах: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \). Таким образом, функция не имеет убывающих интервалов и достигает минимума в точке \( x = 0 \), где \( y(0) = 0 \).
В итоге, функция \( y = x^7 \) является строго возрастающей на всей числовой оси, кроме критической точки, где она равна нулю.
