(4-3х)^4-8(4-3х)^2-9<0

Для решения неравенства \( (4 - 3x)^4 - 8(4 - 3x)^2 - 9 < 0 \) начнем с упрощения выражения.

Обозначим \( y = (4 - 3x)^2 \). Тогда неравенство принимается в виде:

\[ y^2 - 8y - 9 < 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала находим корни квадратного уравнения:

\[ y^2 - 8y - 9 = 0 \]

Используя формулу корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = -8, c = -9 \).

Рассчитаем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

Теперь найдем корни:

\[ y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \]

Теперь у нас есть два корня: \( y_1 = 9 \) и \( y_2 = -1 \). Поскольку у нас неравенство \( y^2 - 8y - 9 < 0 \), нам нужно определить промежутки, в которых оно выполняется. Это можно сделать, изучая знак выражения между корнями.

Рассмотрим интервалы:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \( (-1, 9) \)
3. \( (9, \infty) \)

Выберем тестовые значения:

• Для интервала \( (-\infty, -1) \), например \( y = -2 \): \(((-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 9) = 4 + 16 - 9 = 11\) (положительно).

• Для интервала \( (-1, 9) \), например \( y = 0 \): \((0^2 - 8 \cdot 0 - 9) = -9\) (отрицательно).

• Для интервала \( (9, \infty) \), например \( y = 10 \): \((10^2 - 8 \cdot 10 - 9) = 100 - 80 - 9 = 11\) (положительно).

Следовательно, неравенство выполняется в интервале:

\[ (-1, 9) \]

Теперь вернемся к переменной \( x \):

Так как \( y = (4 - 3x)^2 \), у нас есть:

\[ -1 < (4 - 3x)^2 < 9 \]

Неравенство \( (4 - 3x)^2 < 9 \) решаем, извлекая корень:

\[ -3 < 4 - 3x < 3 \]

Исходя из этого, получаем два неравенства:

1. \( 4 - 3x < 3 \) ведет к \( -3x < -1 \) или \( x > \frac{1}{3} \).
2. \( 4 - 3x > -3 \) ведет к \( -3x > -7 \) или \( x < \frac{7}{3} \).

Таким образом, объединяя оба неравенства, получаем:

\[ \frac{1}{3} < x < \frac{7}{3} \]

Итак, решение неравенства \( (4 - 3x)^4 - 8(4 - 3x)^2 - 9 < 0 \):

\[ x \in \left( \frac{1}{3}, \frac{7}{3} \right) \]