Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треуголь- ника и его площадь.
Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади треугольника.
- Находим третью сторону. У нас есть две стороны треугольника \( a = 4 \) см и \( b = 8 \) см, и угол между ними \( C = 60° \). По теореме косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Подставим известные значения:
\[ c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60°) \]
Помним, что \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \):
\[ c^2 = 16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 16 + 64 - 32 \] \[ c^2 = 48 \] \[ c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см} \]
Таким образом, третья сторона треугольника \( c \approx 6.93 \) см.
- Находим площадь треугольника. Площадь \( S \) можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]
Подставим известные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60°) \]
Помним, что \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь треугольника \( S \approx 13.86 \text{ см}^2 \).
В итоге:
- Третья сторона треугольника \( c \approx 6.93 \) см.
- Площадь треугольника \( S \approx 13.86 \text{ см}^2 \).
