Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало два очка»?
Для решения задачи о вероятности события «хотя бы раз выпало два очка» при условии, что суммарно выпало 5 очков за три броска симметричной игральной кости, нужно сначала рассмотреть все возможные варианты, которые дают в сумме 5.
Броски игральной кости могут быть обозначены как \(X_1, X_2, X_3\), где каждое \(X_i\) (для \(i = 1, 2, 3\)) – это результат одного броска кости (то есть целое число от 1 до 6). Мы ищем все комбинации \(X_1 + X_2 + X_3 = 5\).
Находим возможные комбинации:
- \( (1, 1, 3) \)
- \( (1, 2, 2) \)
- \( (2, 1, 2) \)
- \( (3, 1, 1) \)
- \( (1, 3, 1) \)
- \( (2, 2, 1) \)
Заметим, что к комбинации \( (1, 1, 3) \) можно получить 3 перестановки, а в случае \( (1, 2, 2) \) — 3 перестановки (так как две единицы, два одинаковых значения).
Теперь нам нужно сосчитать количество случаев, где в одной из комбинаций хотя бы один раз присутствует 2:
- Комбинации с двумя очками:
- \( (1, 2, 2) \)
- \( (2, 1, 2) \)
- \( (2, 2, 1) \)
Количество удачных вариантов:
- Для комбинации \( (1, 2, 2) \) — 3 перестановки.
- Для комбинации \( (2, 1, 2) \) — 3 перестановки.
- Для комбинации \( (2, 2, 1) \) — 3 перестановки.
Теперь подсчитаем все подходящие варианты:
- \(1, 2, 2\): 3 варианта.
- \(2, 1, 2\): 3 варианта.
- \(2, 2, 1\): 3 варианта.
Итого, удачных комбинаций — 9.
Общее количество вариантов, которые суммируются до 5, составляют:
- \( (1, 1, 3) \): 3!
- \( (1, 2, 2) \): 3 варианта.
- \( (2, 1, 2) \): 3 варианта.
- \( (3, 1, 1) \): 3! (или 3).
- Всего мы имеем: \(1\) (от 1, 1, 3), \(3\) (от 1, 2, 2), и \(3\) (от 2, 2, 1) + \(3\) (от 3, 1, 1). Всего \(10\) вариантов.
Теперь посчитаем вероятность: \[ P(\text{хотя бы раз 2}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{9}{10} \]
Таким образом, вероятность того, что хотя бы раз выпало два очка, составляет \(0.9\) или \(90\%\).
