|x|+|x+4| найти наименьшее значение выражения

Чтобы найти наименьшее значение выражения \(|x| + |x + 4|\), нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от значения \(x\). Значение абсолютной величины зависит от знака выражения внутри неё, поэтому мы разделим решение на интервалы.

1. Случай 1: \(x < -4\)
   В этом интервале оба выражения отрицательны, поэтому:
   \[ |x| = -x, \quad |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 \] Подставляем в исходное выражение: \[ -x + (-x - 4) = -2x - 4 \]

2. Случай 2: \(-4 \leq x < 0\)
   Здесь \(|x|\) остается отрицательным, а \(|x + 4|\) становится положительным: \[ |x| = -x, \quad |x + 4| = x + 4 \] Подставляем: \[ -x + (x + 4) = 4 \]

3. Случай 3: \(x \geq 0\)
   В этом интервале оба выражения положительны: \[ |x| = x, \quad |x + 4| = x + 4 \] Подставляем: \[ x + (x + 4) = 2x + 4 \]

Теперь мы имеем три выражения, и нам нужно найти наименьшее значение.

• В первом случае \(-2x - 4\) убывает, и чем меньше \(x\), тем больше значение. При \(x = -4\), \(-2(-4) - 4 = 8 - 4 = 4\).

• Во втором случае значением будет \(4\) для всех \(x\) в интервале \([-4, 0)\).

• В третьем случае \(2x + 4\) возрастает, и его минимальное значение также достигается при \(x = 0\): \(2(0) + 4 = 4\).

Таким образом, наименьшее значение выражения \(|x| + |x + 4|\) равно \(4\) и достигается при всех \(x\) из интервала \([-4, 0]\).